Ciencia y Educación
(L-ISSN: 2790-8402 E-ISSN: 2707-3378)
Vol. 7 No. 5.2
Edición Especial V 2026
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ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS EN ESTUDIANTES DE NOVENO GRADO DE EDUCACIÓN
BÁSICA EN LA UNIDAD EDUCATIVA ELOY ALFARO
METHODOLOGICAL STRATEGIES FOR SOLVING RIGHT TRIANGLES IN NINTH
GRADE STUDENTS AT THE ELOY ALFARO EDUCATIONAL UNIT
METHODOLOGICAL STRATEGIES
Autores: ¹Concepción del Rocío Freire Carrera, ²Katty Yolanda Cruz Sánchez, ³Gladys
Margarita Criollo Portilla y
4
Elizabeth Esther Vergel Parejo.
¹ORCID ID: https://orcid.org/0009-0008-0144-7812
²ORCID ID: https://orcid.org/0009-0009-7143-829X
3
ORCID ID: https://orcid.org/0009-0008-4320-515X
4
ORCID ID: https://orcid.org/0009-0007-0178-5099
¹E-mail de contacto: cdfreirec@ube.edu.ec
²E-mail de contacto: kycruzs@ube.edu.ec
³E-mail de contacto: gmcriollop@ube.edu.ec
4
E-mail de contacto: eevergelp@ube.edu.ec
Afiliación:
1*2*3*4*
Universidad Bolivariana del Ecuador, (Ecuador).
Artículo recibido: 15 de Mayo del 2026
Artículo revisado: 17 de Mayo del 2026
Artículo aprobado: 19 de Mayo del 2026
¹Licenciada en Ciencias de la Educación mención Educación Básica, egresada de la Universidad Técnica de Cotopaxi, (Ecuador).
Maestrante de la Maestría en Educación Básica de la Universidad Bolivariana del Ecuador, (Ecuador).
²Licenciada en Ciencias de la Educación mención Educación Primaria, egresada de la Universidad Estatal de Guayaquil, (Ecuador).
Maestrante de la Maestría en Educación Básica de la Universidad Bolivariana del Ecuador, (Ecuador).
³Licenciada en Ciencias de la Educación especialización Físico Matemáticas, egresada de la Universidad de Guayaquil, (Ecuador).
Magíster en Educación Matemática Aplicada a la Enseñanza Media, egresada de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, (Ecuador).
Magíster en Educación mención Educación Superior, egresada de la Universidad Tecnológica América, (Ecuador). Doctora en Ciencias
de la Educación especialización Físico Matemáticas, egresada de la Universidad de Guayaquil, (Ecuador). Doctor en Ciencias Pedagógicas
de la Universidad de Camaguey Agromonte Loynaz, (Cuba).
4
Profesora en la especialidad de Biología, (Ecuador). Magíster en Educación mención Didáctica de la Biología, (Ecuador). Doctora en
Educación, (Ecuador) Posdoctorado en Educación, Producción y Gestión del Conocimiento en Educación: Complejidad, innovación y
desarrollo personal, (Ecuador). Docente investigadora de la Universidad Bolivariana del Ecuador, (Ecuador).
Resumen
La presente investigación surge ante la
necesidad de fortalecer el proceso de
enseñanza–aprendizaje de la trigonometría,
específicamente en la resolución de triángulos
rectángulos, en los estudiantes de noveno grado
de Educación General Básica de la Unidad
Educativa Eloy Alfaro, ubicada en el cantón La
Troncal. Diversos factores académicos y
pedagógicos evidencian dificultades
significativas en la comprensión de conceptos
geométricos, la identificación correcta de
catetos e hipotenusa, la aplicación del teorema
de Pitágoras y la transferencia de los
conocimientos trigonométricos a situaciones
reales, lo que incide negativamente en el
rendimiento académico y en la motivación
hacia el aprendizaje de las matemáticas. Ante
esta problemática, la investigación tiene como
propósito analizar la efectividad de la
aplicación de estrategias metodológicas activas
orientadas a superar el aprendizaje
memorístico y promover una comprensión
conceptual significativa. El estudio se
fundamenta en enfoques constructivistas y
socioculturales, integrando la resolución de
problemas contextualizados, el uso de
materiales manipulativos, la incorporación de
recursos tecnológicos y el trabajo colaborativo
como ejes metodológicos. Desde una
perspectiva metodológica, la investigación
adopta un enfoque mixto, empleando métodos
teóricos y empíricos que permiten diagnosticar
las dificultades existentes y valorar los efectos
de la implementación de las estrategias
propuestas. Se espera que los resultados
contribuyan a mejorar el desempeño
académico, fortalecer el pensamiento lógico-
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matemático y favorecer la transferencia de los
conocimientos trigonométricos a contextos
reales, consolidando así un aprendizaje más
significativo y duradero en los estudiantes.
Palabras claves: Estrategias metodológicas,
Triángulos rectángulos, Trigonometría,
Educación Básica, Aprendizaje
significativo.
Abstract
This research arises from the need to strengthen
the teaching and learning process of
trigonometry, specifically in the resolution of
right triangles, among ninth-grade students at
the Eloy Alfaro Educational Unit, located in the
La Troncal canton. Various academic and
pedagogical factors reveal significant
difficulties in understanding geometric
concepts, correctly identifying legs and
hypotenuse, applying the Pythagorean
theorem, and transferring trigonometric
knowledge to real-world situations. This
negatively impacts academic performance and
motivation for learning mathematics. In
response to this problem, the research aims to
analyze the effectiveness of applying active
methodological strategies designed to
overcome rote learning and promote
meaningful conceptual understanding. The
study is based on constructivist and
sociocultural approaches, integrating
contextualized problem-solving, the use of
manipulatives, the incorporation of
technological resources, and collaborative
work as methodological pillars. From a
methodological perspective, this research
adopts a mixed-methods approach, employing
both theoretical and empirical methods to
diagnose existing difficulties and assess the
effects of implementing the proposed
strategies. The results are expected to
contribute to improving academic
performance, strengthening logical-
mathematical thinking, and facilitating the
transfer of trigonometric knowledge to real-
world contexts, thus consolidating more
meaningful and lasting learning for students.
Keywords: Methodological strategies, Right
triangles, Trigonometry, Basic education,
Meaningful learning.
Sumário
Esta pesquisa surge da necessidade de
fortalecer o processo de ensino e aprendizagem
de trigonometria, especificamente na resolução
de triângulos retângulos, entre alunos do nono
ano da Unidade Educacional Eloy Alfaro,
localizada no cantão de La Troncal. Diversos
fatores acadêmicos e pedagógicos revelam
dificuldades significativas na compreensão de
conceitos geométricos, na correta identificação
dos catetos e da hipotenusa, na aplicação do
teorema de Pitágoras e na transferência do
conhecimento trigonométrico para situações do
mundo real. Isso impacta negativamente o
desempenho acadêmico e a motivação para
aprender matemática. Diante desse problema, a
pesquisa visa analisar a eficácia da aplicação de
estratégias metodológicas ativas, concebidas
para superar a aprendizagem mecânica e
promover uma compreensão conceitual
significativa. O estudo baseia-se em
abordagens construtivistas e socioculturais,
integrando a resolução de problemas
contextualizada, o uso de materiais
manipuláveis, a incorporação de recursos
tecnológicos e o trabalho colaborativo como
pilares metodológicos. Do ponto de vista
metodológico, esta pesquisa adota uma
abordagem mista, empregando métodos
teóricos e empíricos para diagnosticar as
dificuldades existentes e avaliar os efeitos da
implementação das estratégias propostas.
Espera-se que os resultados contribuam para a
melhoria do desempenho acadêmico, o
fortalecimento do raciocínio lógico-
matemático e a facilitação da transferência do
conhecimento trigonométrico para contextos
do mundo real, consolidando, assim, uma
aprendizagem mais significativa e duradoura
para os alunos.
Palavras-chave: Estratégias metodológicas,
Triângulos retângulos, Trigonometria,
Educação básica, Aprendizagem
significativa.
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Introducción
En el contexto internacional, la enseñanza de la
trigonometría y en particular la resolución de
triángulos rectángulos ha sido abordada desde
diversas perspectivas didácticas que enfatizan
estrategias activas y constructivas, superando el
enfoque tradicional centrado en fórmulas y
memorización. En España, Sainz (2021) han
analizado la enseñanza de contenidos
matemáticos como la trigonometría a través de
la resolución de problemas y la comprensión
conceptual progresiva, destacando la
importancia de diseñar secuencias didácticas
que guíen al estudiante desde la comprensión
inicial de ideas geométricas y relaciones
trigonométricas hacia tareas de aplicación más
complejas, evitando la simple aplicación
mecánica de fórmulas sin significado para el
alumno. Este enfoque, basado en tareas
estructuradas y progresivas, favorece un
aprendizaje significativo de las razones
trigonométricas y su uso en problemas reales (la
idea de secuencia didáctica implica que cada
actividad prepara cognitivamente para la
siguiente).
Por otra parte, investigaciones en México como
las que han desarrollado Medina et al. (2023)
desde una perspectiva socio epistemológica en
matemáticas educativas han subrayado que el
aprendizaje de la trigonometría se potencia
cuando se trabaja sobre situaciones reales y
problemáticas significativas para los
estudiantes, integrando la problematización del
saber matemático como eje para construir
conocimiento auténtico, contextualizado y
relevante. Aunque muchos de sus trabajos
iniciales (como el análisis del discurso
matemático en los libros de texto) la
continuidad de esta línea de investigación y su
presencia en revistas de educación matemática
contemporáneas demuestra que esta perspectiva
socio epistemológica sigue siendo un referente
para articular actividades que vinculen la
resolución de triángulos con prácticas sociales y
contextos reales. En Colombia, se ha explorado
el papel de herramientas tecnológicas como
GeoGebra en la enseñanza de la trigonometría,
fortaleciendo la visualización y modelación
matemática de triángulos rectángulos para
facilitar su comprensión y resolución.
Investigaciones centradas en estrategias
didácticas para las razones trigonométricas han
demostrado que integrar software dinámico
permite a los estudiantes interactuar con
representaciones geométricas, explorando
cómo cambian las razones trigonométricas al
modificar parámetros del triángulo y
resolviendo problemas más allá del simple
cálculo algorítmico.
Carriazo et al. (2021) Este uso de GeoGebra no
solo apoya la comprensión conceptual de las
relaciones entre ángulos y lados, sino que
también promueve la participación y la
construcción de significado, lo cual está en
sintonía con los enfoques activos propuestos en
España y México. En el contexto ecuatoriano,
la literatura científica desde el año 2020
evidencia un interés creciente por fortalecer la
enseñanza de la trigonometría, particularmente
en la resolución de triángulos rectángulos,
mediante la aplicación de estrategias
metodológicas activas e integradas.
Diversos estudios reportados en bases de datos
como lo registra Montalván et al. (2025),
coinciden en que el uso exclusivo de
metodologías tradicionales, centradas en la
explicación teórica y la memorización de
fórmulas, resulta insuficiente para lograr
aprendizajes significativos en los estudiantes de
Educación Básica. En respuesta a esta
problemática, se propone la incorporación de
enfoques innovadores como el aula invertida, el
uso de Tecnologías de la Información y la
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Comunicación (TIC) especialmente GeoGebra
y simulaciones interactivas, la gamificación, así
como el empleo de representaciones gráficas y
materiales manipulativos. Esta investigación
señala que la combinación de representación
visual (gráficas, esquemas, uso del círculo
unitario), prácticas concretas (materiales
manipulativos, actividades contextualizadas) y
recursos tecnológicos favorece la comprensión
conceptual de las razones trigonométricas y la
correcta aplicación del teorema de Pitágoras.
En este sentido, se destaca que el aprendizaje
mejora cuando el estudiante no solo aplica
procedimientos, sino que comprende las
relaciones entre ángulos y lados dentro de
situaciones reales y significativas, aspecto
fundamental para el nivel de noveno grado.
Entre las estrategias más relevantes, el aula
invertida se presenta como una alternativa
eficaz, ya que permite que los estudiantes
revisen contenidos teóricos fuera del aula
mediante videos o recursos digitales y utilicen
el tiempo de clase para la resolución guiada de
ejercicios, el trabajo colaborativo y la
retroalimentación docente. Asimismo, el uso de
GeoGebra y simulaciones digitales posibilita la
visualización dinámica de las razones
trigonométricas y las relaciones entre ángulos y
lados, favoreciendo la comprensión de
conceptos abstractos y promoviendo un
aprendizaje exploratorio.
Por otro lado, se destaca la importancia de los
materiales manipulativos y las actividades
contextualizadas, especialmente aquellas
vinculadas a problemas de la vida cotidiana,
como la medición de alturas o distancias, las
cuales fortalecen el razonamiento matemático y
facilitan la aplicación del teorema de Pitágoras.
Finalmente, la gamificación y las actividades
lúdicas se reconocen como recursos
metodológicos que incrementan la motivación,
el interés y la práctica constante, elementos
clave para el aprendizaje de la trigonometría en
Educación Básica. En la región Sierra del
Ecuador, particularmente en provincias como
Azuay, la producción académica reciente
evidencia un interés por fortalecer la enseñanza
de la trigonometría mediante la aplicación de
estrategias metodológicas innovadoras,
orientadas a superar las limitaciones de los
enfoques tradicionales.
Diversos estudios desarrollados en instituciones
de educación superior ubicadas en estas
provincias destacan la necesidad de incorporar
metodologías activas que favorezcan la
comprensión conceptual y procedimental de los
contenidos trigonométricos en estudiantes de
Educación Básica y Bachillerato. Un aporte
relevante es el de Aguilar et al. (2025) analizan
la aplicación de enfoques socio-constructivistas
en la enseñanza de la trigonometría. La autora
propone el uso de talleres guiados, resolución
de problemas contextualizados y apoyo
tecnológico como estrategias para facilitar la
comprensión de las leyes trigonométricas y
otros procedimientos matemáticos. Si bien su
estudio se centra en contenidos generales de
trigonometría, sus aportes resultan pertinentes y
transferibles a la resolución de triángulos
rectángulos en el nivel de secundaria, debido a
la similitud conceptual y procedimental de los
contenidos abordados.
En síntesis, la evidencia científica generada en
provincias de la región Sierra como Azuay,
visualizan la importancia de priorizar
representaciones visuales y manipulativas,
integrándolas con trabajo cooperativo y
resolución de problemas contextualizados, tales
como situaciones relacionadas con la geografía
andina, la medición de alturas o la altitud de
espacios naturales propios del contexto serrano.
Estas estrategias permiten vincular los
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contenidos matemáticos con la realidad del
estudiante, favoreciendo la construcción de
aprendizajes significativos y duraderos en la
enseñanza de la trigonometría. Para delimitar
con precisión el alcance y el impacto de esta
investigación, se establece que el ámbito
geográfico e institucional de estudio será la
Unidad Educativa Eloy Alfaro. Esta institución
educativa, de carácter público y reconocida
trayectoria, se encuentra estratégicamente
ubicada en el cantón La Troncal, una zona
dinámica perteneciente a la provincia de Cañar,
en la región austral del Ecuador.
La elección de este centro educativo no es
casual, sino que responde a la necesidad de
abordar las deficiencias de aprendizaje en la
resolución de triángulos rectángulos que han
sido identificadas específicamente en los
estudiantes del Noveno Grado de Educación
General Básica (EGB) de dicha unidad. El tema
de investigación se centra en el uso de
materiales didácticos manipulativos en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, específicamente en la
comprensión de los triángulos rectángulos por
parte de los estudiantes de noveno año de
Educación Básica en la Unidad Educativa Eloy
Alfaro. Esta acotación permite delimitar el
estudio al nivel educativo y al contenido
geométrico concreto, evitando generalizaciones
sobre otras áreas de matemáticas o grados
escolares.
Con base a la propuesta, esta investigación se
erige como un proyecto de innovación
educativa fundamental para la Unidad
Educativa Eloy Alfaro. No solo se limitará a
diagnosticar la persistente problemática del
aprendizaje memorístico y el bajo desempeño
de los estudiantes de noveno grado en la
resolución de triángulos rectángulos, sino que
se centrará activamente en la generación y
validación de una solución práctica. La esencia
del estudio radica en determinar con rigor
científico el grado de eficacia y el impacto
cualitativo que un conjunto articulado de
estrategias metodológicas alternativas puede
ejercer sobre el proceso de enseñanza-
aprendizaje. El objetivo principal es trascender
la simple aplicación de fórmulas para fomentar
una comprensión conceptual profunda de la
trigonometría. Evaluando la capacidad de los
estudiantes para modelar matemáticamente y
transferir estos conocimientos a la solución de
problemas contextualizados y de la vida real.
De esta manera, se busca transformar el aula de
matemáticas en un espacio más dinámico,
práctico y significativo, ofreciendo una
herramienta probada y replicable para los
docentes de la institución y el cantón La
Troncal.
En el contexto educativo actual, los estudiantes
de noveno grado presentan dificultades
significativas en la comprensión y resolución de
problemas de geometría, especialmente en lo
relacionado con los triángulos rectángulos.
Estas dificultades se atribuyen a la escasa
aplicación de estrategias metodológicas activas
y al limitado uso de materiales manipulativos,
herramientas pedagógicas que permiten
transformar conceptos abstractos en
experiencias concretas y facilitan la
comprensión de contenidos matemáticos
complejos según (Martínez, 2025). En los
estudios recientes destacan que la
incorporación de métodos innovadores, junto
con recursos manipulativos como regletas,
bloques lógicos y geoplanos, promueve un
aprendizaje activo, participativo y
contextualizado, estimulando el desarrollo del
pensamiento lógico-matemático de estudiantes
además menciona que sin embargo, la
implementación de estas estrategias en las aulas
sigue siendo limitada debido a factores como la
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insuficiente formación docente, el
desconocimiento de los beneficios de estas
metodologías y la escasa disponibilidad de
recursos Chauca (2013) manifiesta que la falta
de incorporación sistemática de estrategias
metodológicas y materiales manipulativos
genera consecuencias significativas: bajo
rendimiento académico, comprensión limitada
de los conceptos fundamentales y actitudes
negativas hacia las matemáticas.
Esta situación repercute en el desarrollo de
competencias clave para el pensamiento lógico,
la resolución de problemas y el razonamiento
espacial, habilidades esenciales para el
aprendizaje matemático en niveles avanzado.
La ausencia de una aplicación sistemática de
estrategias metodológicas y del uso de
materiales manipulativos produce
consecuencias importantes, entre ellas el bajo
rendimiento académico, la limitada
comprensión de los conceptos básicos y la
adopción de actitudes desfavorables hacia las
matemáticas. Esta situación afecta al desarrollo
de competencias esenciales relacionadas con el
pensamiento lógico, la resolución de problemas
y el razonamiento espacial, habilidades
indispensables para el aprendizaje matemático
en niveles superiores.
Ministerio de Educación del Ecuador (2024),
afirma que, por lo tanto, surge la necesidad de
analizar y evaluar el impacto de estrategias
metodológicas activas y materiales
manipulativos en la enseñanza de los triángulos
rectángulos, con el fin de mejorar el
aprendizaje, fomentar la motivación y fortalecer
las competencias matemáticas de los
estudiantes de noveno grado. Este análisis
permitirá cerrar la brecha entre teoría y práctica
pedagógica, optimizando los recursos y
estrategias empleadas en el aula y
contribuyendo a una enseñanza más efectiva y
significativa. Según el Tercer Estudio Regional
Comparativo y Explicativo que desglosan los
resultados de estudiantes en la resolución de
triángulos rectángulos en las pruebas OECD
(2023) explica que de forma explícita se pudo
determinar, por ejemplo, porcentajes de aciertos
en tareas de triángulos rectángulos. Los
informes PISA presentan resultados generales
en dominios de matemática como
“geométrico”, pero no cifras puntuales sobre
triángulos rectángulos, a estudiantes de 15 años,
sin importar el grado escolar usualmente cursan
9° o 10° de EGB o el 1.º de bachillerato en
Ecuador. Presenta inicialmente un recorrido
histórico del estudio de la trigonometría a través
de las diferentes culturas que han aportado a su
desarrollo.
El autor muestra conceptos sobre triángulos
desde sus clasificaciones hasta la forma de
solucionarlos dependiendo del tipo al que
pertenezca. Alejandro (2021) afirma que se
elabora una unidad didáctica compuesta por
cuatro guías donde se incluyen aspectos
teóricos de los triángulos, así como sus
propiedades principales El autor propone una
serie de actividades cuyo objetivo es de manera
gradual facilitar el aprendizaje de la resolución
de triángulos en los estudiantes de grado décimo
este autor presenta también los análisis
correspondientes para las actividades
propuestas y los resultados arrojados al poner en
práctica dichas estrategias.
Su trabajo se desarrolla en el contexto de
educación media, enfocándose en la
construcción progresiva del conocimiento sobre
resolución de triángulos mediante guías
estructuradas. Méndez (2019) plantean que la
estrategia que introduce la Trigonometría en el
cuarto año de Educación Media General
consiste en la solución de triángulos
rectángulos, pero los problemas de aplicación
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asociados a ellos, al representar situaciones
ficticias y no vinculadas al contexto real, no
suscitan la participación del estudiante. Por esta
razón, los autores desarrollaron una
investigación cualitativa mediante
investigación-acción participativa cuyo
propósito fue comprobar y valorar el impacto de
la resolución de problemas en el aprendizaje de
la Matemática al vincularse con la
Trigonometría y sustentarse en la modelación,
la creatividad y las aplicaciones en el contexto
real del estudiante. Desde el punto de vista
conceptual, una de las mayores barreras que
enfrentan los estudiantes radica en la
comprensión del significado y la naturaleza de
las razones trigonométricas.
Muchos estudiantes memorizan las definiciones
de seno, coseno y tangente como fórmulas
aisladas sin comprender realmente que estas
razones representan relaciones invariantes entre
los lados de triángulos rectángulos similares.
Esta falta de comprensión conceptual profunda
se manifiesta en la incapacidad de los
estudiantes para distinguir entre diferentes
contextos trigonométricos, particularmente
cuando deben realizar la transición del triángulo
rectángulo al círculo unitario y posteriormente
a las funciones trigonométricas. La abstracción
inherente a estos conceptos requiere un nivel de
razonamiento matemático que muchos
estudiantes de noveno grado aún están
desarrollando. Investigaciones específicas han
documentado que los estudiantes de noveno
grado presentan confusión sistemática respecto
a cuál lado del triángulo corresponde a cada
razón trigonométrica para un ángulo dado. Esta
confusión se origina parcialmente en la
naturaleza abstracta de los términos "opuesto",
"adyacente" e "hipotenusa", que requieren que
el estudiante adopte una perspectiva relativa
respecto al ángulo de referencia. Para
adolescentes de 14-15 años que recién están
desarrollando habilidades de pensamiento
espacial abstracto, esta perspectiva relativa
resulta particularmente desafiante. Muchos
estudiantes fallan en comprender que estas
denominaciones no son absolutas, sino que
dependen del ángulo específico que se está
considerando, lo que lleva a errores sistemáticos
en la identificación de los lados correctos al
aplicar las razones trigonométricas. Además,
existe una dificultad adicional en comprender la
naturaleza funcional de las relaciones
trigonométricas, es decir, que para cada ángulo
existe un único valor de cada razón
trigonométrica, independientemente del tamaño
del triángulo rectángulo.
El objetivo de estas estrategias es facilitar la
comprensión de los triángulos rectángulos,
fortalecer el pensamiento lógico y espacial y
mejorar el rendimiento académico de los
estudiantes de noveno grado. Para ello, las
estrategias propuestas combinan métodos
activos, el uso de materiales concretos y
actividades colaborativas. En este sentido, se
promueve la resolución de problemas
contextualizados, mediante el planteamiento de
situaciones relacionadas con la vida cotidiana,
tales como la medición de áreas en proyectos de
construcción, el diseño de rampas y escaleras o
la elaboración de diversos objetos.
De esta manera, se fomenta que los estudiantes
analicen el problema, identifiquen los datos
relevantes y seleccionen la estrategia más
adecuada para su resolución. En consecuencia,
surge la siguiente pregunta de investigación.
¿Cómo influyen las estrategias metodológicas
utilizadas por los docentes en el desarrollo de
habilidades para la resolución de triángulos
rectángulos en los estudiantes de noveno grado
de la Unidad Educativa Eloy Alfaro? El estudio
de las estrategias metodológicas para la
resolución de triángulos rectángulos responde,
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en primer lugar, a una justificación social, ya
que estos contenidos son fundamentales en el
currículo de noveno grado y constituyen la base
para el desarrollo de competencias matemáticas
necesarias en áreas como la física, la ingeniería
y las tecnologías aplicadas; sin embargo,
muchos estudiantes presentan dificultades al
percibir la trigonometría como un contenido
abstracto y poco relacionado con su realidad
cotidiana, situación frente a la cual estudios
recientes señalan que la aplicación de
estrategias metodológicas innovadoras y
contextualizadas mejora la comprensión
conceptual y la motivación estudiantil al
vincular el aprendizaje con situaciones reales.
Zambrano et al. (2025), favoreciendo un
aprendizaje significativo y socialmente
relevante en la educación básica. Desde una
justificación pedagógica, esta investigación
busca mejorar la enseñanza y el aprendizaje de
los triángulos rectángulos mediante estrategias
metodológicas que promuevan un aprendizaje
activo y significativo, superando la simple
memorización, puesto que cuando se
implementan métodos centrados en el
estudiante, como la resolución de problemas, el
aprendizaje cooperativo y la gamificación, se
favorece el desarrollo de competencias
matemáticas y una comprensión más profunda
de los contenidos Ruiz et al. (2025),
contribuyendo a un proceso de aprendizaje más
dinámico y reflexivo.
Asimismo, desde la justificación de pertinencia,
el desarrollo del sentido de pertenencia en el
aprendizaje de las matemáticas resulta
fundamental, ya que influye en la participación,
el compromiso y el rendimiento académico de
los estudiantes, dado que sentirse aceptado y
valorado dentro del entorno escolar fortalece la
integración social y académica, y cuando los
estudiantes perciben una mayor conexión con
su institución y con las actividades de
aprendizaje mejora su motivación y actitud
frente a contenidos matemáticos complejos
como los triángulos rectángulos Corona (2020).
Desde una justificación práctica, la
investigación permitirá proponer estrategias
metodológicas que faciliten la resolución de
triángulos rectángulos y mejoren el desempeño
en matemáticas, ya que la implementación de
estrategias didácticas efectivas y
contextualizadas contribuye a fortalecer el
aprendizaje y la aplicación de los
conocimientos en situaciones reales Litardo
(2023), evidenciando la importancia de adaptar
la enseñanza a las necesidades prácticas del
aprendizaje matemático en la educación básica.
Las estrategias metodológicas se conciben
como procesos planificados de intervención
educativa que orientan la selección y aplicación
de métodos, técnicas y recursos didácticos con
el propósito de favorecer el aprendizaje
significativo de los estudiantes. En este marco,
dichas estrategias permiten organizar de manera
intencional la enseñanza, promoviendo la
participación activa del estudiante y facilitando
la comprensión de los contenidos mediante
actividades estructuradas y contextualizadas,
asimismo diversos estudios recientes sostienen
que las estrategias metodológicas cumplen un
papel fundamental en la educación básica,
debido a su capacidad para adaptarse a los
ritmos y estilos de aprendizaje de los
estudiantes, fortaleciendo el desarrollo de
habilidades cognitivas y procedimentales.
En este sentido Vera et al. (2023) señalan que
una estrategia didáctica adecuadamente
planificada favorece la construcción activa del
conocimiento, ya que guía al estudiante en la
comprensión y aplicación de contenidos
matemáticos a través de actividades
significativas orientadas a la resolución de
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problemas. De igual manera, los autores
destacan que la implementación de estrategias
metodológicas activas contribuye a mejorar la
comprensión de conceptos abstractos, como las
razones trigonométricas, al vincular la teoría
con la práctica. Por consiguiente, las estrategias
metodológicas se consolidan como un
componente esencial del proceso de enseñanza–
aprendizaje, al permitir que el estudiante asuma
un rol activo en la construcción de su
conocimiento y desarrolle competencias para la
resolución reflexiva y significativa de
situaciones académicas, especialmente en el
área de Matemáticas, el aporte principal de esta
investigación radica en la propuesta de
estrategias metodológicas activas
contextualizadas para el nivel de noveno grado,
orientadas a fortalecer la comprensión de los
triángulos rectángulos y mejorar el aprendizaje
significativo en el área de Matemática.
Materiales y Métodos
Desde una perspectiva metodológica, la
presente investigación se desarrolla bajo un
enfoque mixto, ya que combina elementos del
enfoque cuantitativo y cualitativo. El enfoque
cuantitativo permite analizar el rendimiento
académico de los estudiantes en la resolución de
problemas de triángulos rectángulos, mientras
que el enfoque cualitativo facilita la
comprensión de las percepciones, experiencias
y valoraciones de estudiantes y docentes
respecto a la aplicación de estrategias
metodológicas activas en el proceso de
enseñanza-aprendizaje. En relación con el
propósito del estudio, la investigación es de tipo
aplicada, debido a que busca implementar
estrategias metodológicas activas orientadas a
mejorar la comprensión y resolución de
problemas de triángulos rectángulos en
estudiantes de noveno grado de Educación
Básica de la Unidad Educativa Eloy Alfaro.
Además, es descriptiva, porque caracteriza las
estrategias empleadas y el nivel de aprendizaje
alcanzado por los estudiantes, y explicativa, al
analizar cómo dichas estrategias contribuyen al
fortalecimiento del pensamiento lógico y
espacial. Atendiendo a la naturaleza del estudio,
el diseño de la investigación es no experimental,
aunque se implementaron estrategias
metodológicas activas, estas no se aplicaron
bajo condiciones controladas ni con
manipulación de variables independientes, sino
como parte del proceso pedagógico habitual,
por lo que el estudio se mantiene dentro de un
diseño no experimental con alcance aplicado.
De igual forma, es de corte transversal, debido
a que la recolección de datos se realiza en un
periodo específico del proceso educativo. Para
el desarrollo del estudio, se emplearon métodos
teóricos y empíricos. Los métodos teóricos,
como el análisis y la síntesis, permitieron
descomponer e integrar conceptos relacionados
con la geometría, los triángulos rectángulos y
las estrategias metodológicas activas. Los
métodos de inducción y deducción facilitaron la
formulación de conclusiones generales a partir
de situaciones particulares y la aplicación de
teorías del aprendizaje al contexto educativo. El
método histórico-lógico posibilitó el análisis de
la evolución de la enseñanza de la geometría y
el uso de materiales manipulativos en la
educación matemática.
En cuanto al trabajo de campo, los métodos
empíricos incluyeron la observación directa, las
encuestas y cuestionarios, las pruebas de
rendimiento académico y las entrevistas
semiestructuradas, permitiendo recopilar
información objetiva y subjetiva sobre el
proceso de enseñanza-aprendizaje. En
coherencia con los métodos seleccionados, se
utilizaron como técnicas la observación directa,
la encuesta, la evaluación académica y la
entrevista. Los instrumentos aplicados fueron
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una guía de observación para registrar la
participación e interacción de los estudiantes
con los materiales manipulativos; cuestionarios
y encuestas dirigidos a estudiantes y docentes
para conocer percepciones, motivación y
dificultades; pruebas de rendimiento académico
para evaluar la comprensión de los triángulos
rectángulos y la aplicación del teorema de
Pitágoras; y una guía de entrevista
semiestructurada aplicada a los docentes para
profundizar en la valoración de las estrategias
metodológicas implementadas.
En función del contexto de estudio, la población
estuvo conformada por 24 estudiantes de
noveno grado de Educación Básica de la Unidad
Educativa Eloy Alfaro y 4 docentes del área de
Matemática, quienes participan directamente en
el proceso de enseñanza-aprendizaje de los
contenidos relacionados con los triángulos
rectángulos. Considerando las características
del estudio, la muestra coincidió con la
población, ya que se trabajó con la totalidad de
los sujetos involucrados, es decir, 24
estudiantes y 4 docentes, lo que permitió
obtener información completa y representativa
del contexto educativo analizado. El proceso
investigativo se desarrolló en varias etapas. En
una fase inicial, se realizó la revisión
bibliográfica para la construcción del marco
teórico.
Luego, se aplicó un diagnóstico mediante
pruebas académicas y observación directa.
Posteriormente, se implementaron las
estrategias metodológicas basadas en el uso de
materiales manipulativos, la integración de
tecnología educativa, la resolución de
problemas contextualizados y el trabajo
colaborativo. Para cerrar el proceso, se
recolectaron los datos mediante los
instrumentos establecidos y se procedió al
análisis e interpretación de los resultados
obtenidos. Para la selección de los participantes,
se consideró a los estudiantes matriculados en
noveno grado de Educación Básica de la Unidad
Educativa Eloy Alfaro y a los docentes del área
de Matemática que impartan clases en dicho
nivel, tomando en cuenta la participación
voluntaria de los sujetos involucrados.
De manera complementaria, se excluyó a los
estudiantes con inasistencia frecuente durante el
periodo de aplicación de las estrategias
metodológicas y a los docentes que no estén
directamente vinculados con la enseñanza de
los contenidos relacionados con los triángulos
rectángulos. En el desarrollo de la
investigación, se respetaron los principios
éticos fundamentales, garantizando la
confidencialidad y el anonimato de la
información proporcionada por los
participantes en este sentido además se contó
con el consentimiento informado de estudiantes
y docentes, y los datos recopilados fueron
utilizados exclusivamente con fines académicos
y científicos, asegurando el respeto, la
integridad y el bienestar de todos los
participantes.
Resultados y Discusión
El análisis de la dimensión de Comprensión y
Aprendizaje revela una tendencia sumamente
positiva en el proceso de enseñanza de la
geometría. Al observar que el 64% de los
encuestados se sitúa en la categoría "Siempre",
se infiere que la metodología utilizada por el
docente para explicar los conceptos de los
triángulos rectángulos y el Teorema de
Pitágoras es efectiva para la mayoría. Existe una
simetría perfecta entre la claridad de la
explicación y la facilidad percibida por el
alumno, lo que sugiere que el éxito académico
en este tema depende directamente de la calidad
de la instrucción recibida en el aula. No
obstante, resulta fundamental prestar atención
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al 32% de los estudiantes que manifiestan
comprender los temas solo "Algunas veces".
Este grupo representa una población en riesgo
de rezago, ya que su aprendizaje es intermitente.
La coincidencia exacta de porcentajes en todos
los indicadores de esta dimensión permite
concluir que no hay un problema específico con
el Teorema de Pitágoras per se, sino que la
variabilidad en la comprensión está ligada a
factores externos o a la necesidad de diversificar
las estrategias didácticas para alcanzar a
aquellos que no logran conectar con el método
de enseñanza tradicional de forma constante.
En cuanto a la Resolución de Problemas, los
datos de la tabulación muestran un compromiso
notable por parte del alumnado. El hecho de que
el 87.5% de los estudiantes participe
activamente de manera frecuente indica un
ambiente de aula dinámico y participativo. Sin
embargo, surge un hallazgo interesante al notar
que ese mismo porcentaje admite participar
"solo cuando se le solicita". Esto describe un
perfil de estudiante que, aunque es capaz y está
dispuesto a trabajar, carece de una autonomía
plena y depende de la validación o la
instrucción directa del profesor para
involucrarse en la resolución de los ejercicios.
Por consiguiente, es muy rescatable el bajísimo
índice de apatía escolar reflejado en la tabla.
Con apenas un 1.6% de alumnos que se declaran
inactivos o no participantes, se puede afirmar
que la estrategia pedagógica ha logrado una
inclusión casi total del grupo.
El desafío futuro, basándose en estos resultados,
consiste en convertir esa participación guiada
en una participación proactiva, transformando
el aula en un espacio donde el estudiante se
sienta con la confianza suficiente para explorar
la resolución de problemas geométricos de
manera independiente y creativa. Al contrastar
los altos niveles de comprensión reportados
(64% en "Siempre") con la literatura actual, se
puede citar el trabajo de Trías Perrone (2025),
quien investigó la importancia de la
visualización geométrica en el aprendizaje del
Teorema de Pitágoras. Este autor sostiene que
la comprensión profunda de este teorema no
depende de la memorización de ciertas
fórmulas, sino de la capacidad del docente para
conectar los conceptos abstractos con
representaciones visuales y prácticas.
En este estudio, la correlación directa entre la
"Explicación del docente" y la "Comprensión"
sugiere que se está logrando esta mediación
efectiva, validando la postura de Trías sobre el
rol crucial de la guía instruccional para reducir
la percepción de dificultad en temas de
geometría plana. Esta mediación encuentra su
base científica en la Teoría de la Zona de
Desarrollo Próximo (ZDP) de Lev Vygotsky
(1978), con aplicaciones vigentes (2025). La
ZDP define la distancia entre lo que el
estudiante puede hacer por sí solo y lo que
puede hacer con ayuda; tus datos demuestran
que el docente está actuando como un
"andamio" eficaz, permitiendo que el 64% de
los alumnos alcance niveles óptimos de
comprensión que no lograrían de forma aislada.
Por otro lado, la dualidad observada en la
resolución de problemas donde existe un alto
compromiso (87,5%) pero supeditado a la
solicitud del docente encuentra un punto de
análisis crítico en las investigaciones de Chapa
(2025). Estos autores analizan el desarrollo de
la autonomía y argumentan que la participación
bajo instrucción no necesariamente equivale a
una competencia autónoma. Según su estudio,
muchos entornos educativos logran una
"participación obediente", similar a la que
reflejan tus datos, pero enfrentan el reto de
transitar hacia un aprendizaje donde el
estudiante tome la iniciativa. Esto explicaría por
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qué, aunque los índices de inactividad son
mínimos (1,6%), la mayoría de tus alumnos aún
depende del estímulo externo para aplicar sus
conocimientos.
Este fenómeno se explica mediante la Teoría de
la Autodeterminación de Deci y Ryan (1985),
evolucionada en marcos de aprendizaje activo
(2020). Esta teoría postula que, para alcanzar
una motivación intrínseca y autónoma, el
estudiante debe sentirse competente y con
sentido de agencia. La discusión sugiere que,
aunque la estrategia metodológica utilizada ha
fortalecido la competencia (los alumnos saben
qué hacer), todavía falta trabajar en la
autonomía para que el estudiante inicie la
resolución de problemas sin necesidad de la
instrucción directa del profesor.
Figura 1. Comprensión y Aprendizaje
Fuente: Elaboración propia
La dinámica de trabajo y participación revela
una convergencia significativa entre la
percepción estudiantil y la observación en el
aula. Los datos obtenidos mediante las
encuestas indican que un 58,30% de los
estudiantes manifiesta trabajar siempre en
grupo, una cifra que coincide con los registros
de observación directa donde se identifica que
el material manipulativo actúa como un
catalizador de la interacción social. No
obstante, surge una contradicción relevante al
observar que un porcentaje idéntico reporta
trabajar rara vez de forma individual, lo que
sugiere una dependencia del entorno
colaborativo. Desde la perspectiva docente, las
entrevistas validan que las estrategias grupales
facilitan la resolución de problemas, aunque
señalan la dificultad de integrar al 16,60% de
los estudiantes que muestran una participación
marginal, evidenciando que el trabajo colectivo
no garantiza por sí mismo la inclusión total.
En cuanto a la motivación y el uso de estrategias
activas, los resultados muestran una estabilidad
notable en las percepciones. El hecho de que el
50% de los estudiantes responda de manera
constante "siempre" ante el impacto de estas
estrategias sugiere que la metodología ha
logrado establecer una base sólida de interés.
Esta percepción se correlaciona directamente
con los resultados de la evaluación académica
sobre el Teorema de Pitágoras, donde el
rendimiento es superior en aquellos alumnos
que reportan una alta motivación por el uso de
materiales concretos. Los docentes corroboran
este hallazgo en sus entrevistas, afirmando que
la manipulación de objetos físicos reduce la
abstracción matemática y facilita la
comprensión de los triángulos rectángulos, lo
que explica la uniformidad en los datos de
satisfacción recogidos.
La dimensión cognitiva y la resolución de
problemas permiten profundizar en la relación
entre la observación y los resultados
cuantitativos. Si bien la encuesta muestra una
inclinación hacia lo grupal, la guía de
observación detecta que esta preferencia oculta
en ocasiones una dependencia excesiva del líder
del equipo, lo que podría explicar por qué un
33,33% de los estudiantes solo se siente
motivado "algunas veces". Este grupo coincide
probablemente con quienes presentan mayores
dificultades en la aplicación autónoma del
Teorema de Pitágoras. La triangulación de estos
datos sugiere que, aunque las estrategias activas
rompen la apatía tradicional, existe un desafío
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en la transición de la observación pasiva hacia
la ejecución individual técnica. Posteriormente,
la conclusión general de la triangulación
demuestra que la implementación de materiales
manipulativos es efectiva para fomentar la
cohesión y el rendimiento académico general.
Sin embargo, los datos advierten sobre la
existencia de una "brecha de autonomía" en el
aprendizaje. Aunque el aprendizaje se percibe
como un proceso social exitoso por la mayoría,
la comprensión profunda y la capacidad de
resolver problemas de forma independiente
dependen críticamente de la mediación docente.
Es necesario, por tanto, diseñar estrategias que
aseguren que la participación en grupo se
traduzca en una competencia individual sólida,
evitando que el trabajo colaborativo se
convierta en un refugio para la falta de
comprensión personal. La prevalencia del
trabajo grupal observada en esta investigación
(58,3%) y su impacto positivo en la motivación
concuerdan con los hallazgos de Navarrete
Chaguay (2025), quien sostiene que el
aprendizaje colaborativo en matemáticas no
solo debe medirse por el rendimiento
académico, sino por su capacidad para
transformar la dinámica social del aula.
Según esta autora, la interacción entre pares
fomenta habilidades socioemocionales que
permiten a los estudiantes con mayores
dificultades (como el 16,6% identificado en este
estudio con baja integración) encontrar un
soporte cognitivo en sus compañeros. Este
fenómeno se sustenta en la Teoría de las
Situaciones Didácticas de Guy (1986), con
vigencia académica en revisiones de (2020),
específicamente en las "situaciones de
validación", donde el estudiante debe
comunicar y defender sus procedimientos ante
el grupo, convirtiendo el material manipulativo
en un medio de prueba y no solo en un juguete
didáctico. Por otro lado, la relación directa entre
el uso de materiales físicos y la mejora en la
comprensión del Teorema de Pitágoras coincide
con lo expuesto por Galvez et al. (2025).
Estos investigadores afirman que el uso de
representaciones gráfico-geométricas y
materiales concretos permite a los estudiantes
de secundaria "resignificar" conceptos
abstractos que tradicionalmente se enseñan solo
como fórmulas algebraicas Al manipular
geoplanos o figuras, los alumnos logran realizar
una "abstracción reflexiva", un concepto clave
de la Teoría del Desarrollo Cognitivo de Jean
Piaget (vigente en el análisis educativo actual),
que postula que el conocimiento lógico-
matemático no es observable en los objetos,
sino que se construye en la mente del sujeto a
través de la acción sobre ellos. Esto explica por
qué los docentes en este estudio reportan una
reducción en la abstracción y una mayor
disposición al trabajo por parte de los alumnos.
Sin embargo, la "brecha de autonomía"
detectada en la triangulación, donde un 33,33%
de los estudiantes muestra una motivación
intermitente y una dependencia del líder,
encuentra eco en la discusión planteada por
Hurst y Linsell (2020).
Estos autores advierten que, si bien los
manipulativos aumentan el razonamiento,
existe el riesgo de que el estudiante se quede en
la etapa concreta sin lograr la transposición al
lenguaje formal. Para mitigar esto, es
fundamental aplicar la Teoría del Aprendizaje
Significativo de Ausubel (1963) la cual sugiere
que el docente debe actuar como mediador para
asegurar que la experiencia con el material se
ancle en los conocimientos previos del alumno
de manera lógica. La discusión concluye que el
éxito de la estrategia no reside únicamente en el
material, sino en el diseño de actividades que
obliguen al estudiante a transitar desde la
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observación grupal hacia la resolución
individual autónoma.
Figura 2. Trabajo grupal o individual
Fuente: Elaboración Propia
Con respecto a la propuesta didáctica activa
para el aprendizaje de triángulos rectángulos,
evaluar la efectividad de las estrategias
metodológicas activas en el aprendizaje de los
triángulos rectángulos en estudiantes de noveno
grado de Educación General Básica. En
coherencia con este propósito general, se
plantea como objetivo específico validar las
estrategias metodológicas activas propuestas
para el aprendizaje de los triángulos rectángulos
en estudiantes de noveno grado de Educación
General Básica, mediante el criterio de docentes
expertos en el área de Matemática.
En la primera semana se implementa la
estrategia denominada exploración guiada de
los elementos del triángulo rectángulo, cuyo
propósito es que los estudiantes comprendan de
manera significativa los elementos y
propiedades de esta figura geométrica mediante
la exploración guiada, el análisis visual, la
manipulación de material concreto y el trabajo
colaborativo, en este contexto, la exploración
guiada constituye una estrategia esencial para el
desarrollo del pensamiento geométrico, ya que
permite al estudiante construir los conceptos a
partir de la observación, la comparación y la
argumentación matemática. De este modo, el
aprendizaje del triángulo rectángulo no se limita
a la memorización de definiciones, sino que
promueve la comprensión profunda de sus
propiedades y relaciones internas, sentando así
las bases para la aplicación posterior del
teorema de Pitágoras y de las razones
trigonométricas. Asimismo, la estrategia se
sustenta en el aprendizaje activo y significativo,
favoreciendo la participación constante del
estudiante y el uso de representaciones visuales
y manipulativas que facilitan la comprensión de
conceptos abstractos propios de la geometría.
Para iniciar la sesión, la docente activa los
conocimientos previos presentando imágenes
proyectadas en la pizarra relacionadas con
situaciones reales, tales como una escalera
apoyada en una pared, una rampa de acceso o
un techo inclinado. A partir de estas
representaciones, formula preguntas
orientadoras como: ¿Qué figuras geométricas
observan en estas imágenes?, ¿Qué tipo de
ángulos se forman?, ¿Creen que todos los
triángulos son iguales? ¿Por qué? Con ello, se
busca identificar saberes previos, despertar el
interés y establecer una conexión entre el
contenido matemático y la vida cotidiana,
Posteriormente, la docente realiza en la pizarra
la construcción visual de un triángulo
rectángulo, explicando cada uno de sus
elementos de manera secuencial.
Figura 3. Triángulos
Fuente: Elaboración propia
En este momento, se aclara que el ángulo
formado por los catetos es un ángulo recto de
90°, que los lados que conforman dicho ángulo
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se denominan catetos y que el lado opuesto al
ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa,
siendo además el lado de mayor longitud.
Seguidamente, los estudiantes copian el dibujo
en su cuaderno y rotulan cada uno de sus
elementos, reforzando así la identificación
visual y conceptual.
Figura 4. Rotulación de elementos
Fuente: Elaboración propia
A continuación, se profundiza en el concepto de
ángulo recto mediante un esquema específico
que permite enfatizar que su medida es
exactamente 90° y que su presencia es
condición indispensable para que un triángulo
sea considerado rectángulo. Luego, los
estudiantes identifican este tipo de ángulo en
distintos dibujos proporcionados en fichas de
trabajo, consolidando la comprensión a través
de la práctica, más adelante, la docente presenta
diferentes tipos de triángulos con el fin de
promover la comparación y el análisis. En
consecuencia, los estudiantes observan,
identifican cuál de ellos posee un ángulo recto
y justifican su respuesta tanto de manera oral
como escrita, fortaleciendo la argumentación
matemática y el pensamiento crítico.
Seguidamente, se organiza el trabajo
colaborativo, conformando grupos de cuatro
integrantes. Cada grupo recibe fichas con
distintos triángulos dibujados en diversas
posiciones y tamaños. La actividad consiste en
identificar cuáles son triángulos rectángulos,
señalar los catetos, la hipotenusa y el ángulo
recto, y justificar la respuesta mediante
argumentos matemáticos. Durante este proceso,
la docente recorre los grupos, orienta el trabajo,
corrige posibles errores conceptuales y plantea
preguntas desafiantes que estimulan la reflexión
para finalizar, los estudiantes realizan
construcciones geométricas en su cuaderno
como actividad de consolidación.
Para ello, dibujan un triángulo rectángulo,
marcan el ángulo recto, identifican los catetos y
la hipotenusa, y explican por escrito por qué el
triángulo elaborado cumple con las
características de un triángulo rectángulo. De
esta manera, se refuerza la comprensión
conceptual mediante la aplicación práctica y la
argumentación escrita. En la segunda semana se
desarrolla la estrategia orientada a la resolución
de problemas contextualizados mediante el
teorema de Pitágoras, con el propósito de que
los estudiantes apliquen este principio
matemático en situaciones de la vida cotidiana,
fortaleciendo el razonamiento lógico y la
comprensión de las relaciones entre los
elementos del triángulo rectángulo en noveno
grado de Educación General Básica.
En este marco, la resolución de problemas
contextualizados constituye una estrategia
didáctica fundamental para el aprendizaje de la
geometría, ya que permite vincular los
conceptos matemáticos con situaciones reales y
significativas. Desde el enfoque del aprendizaje
significativo, el uso de contextos cercanos al
entorno del estudiante favorece la comprensión
de la relación existente entre los catetos y la
hipotenusa, evitando el aprendizaje mecánico
de la fórmula. Asimismo, la estrategia se
sustenta en el constructivismo cognitivo, al
promover que el estudiante construya el
conocimiento a partir de la interpretación de
problemas reales, la formulación de hipótesis y
la aplicación de procedimientos matemáticos.
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De igual manera, se alinea con el modelo de
resolución de problemas de Pólya, guiando al
estudiante en las etapas de comprensión del
problema, diseño del plan, ejecución y
verificación de resultados. Así, el teorema de
Pitágoras deja de ser una fórmula aislada para
convertirse en una herramienta útil en la
resolución de situaciones concretas del entorno
escolar y cotidiano. Para iniciar la clase, la
docente retoma los elementos del triángulo
rectángulo catetos e hipotenusa mediante un
esquema dibujado en la pizarra.
Figura 5. Elementos del triángulo rectángulo
catetos e hipotenusa
Fuente: Elaboración propia
A partir de esta representación, presenta el
enunciado del teorema de Pitágoras de forma
clara: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. Seguidamente, escribe
la fórmula general c2=a 2 + b 2 explicando que
c representa la hipotenusa y a y b los catetos,
seguidamente, la docente realiza una
explicación guiada del uso de la fórmula,
detallando paso a paso el proceso de sustitución
de valores y el orden correcto de las
operaciones. Por ejemplo, plantea un caso en el
que los catetos miden 6 cm y 8 cm. Entonces,
sustituye en la fórmula:
c
2
=62+82
c
2
=36+64
c
2
=100
C=√100=10cm (1)
Durante el procedimiento, aclara dudas y
refuerza el uso adecuado de la potenciación y la
raíz cuadrada. A continuación, se presentan
problemas contextualizados relacionados con
situaciones reales, incluidos en guías impresas.
Por ejemplo, se plantea el caso de una escalera
apoyada contra una pared, cuya base está a 5
metros y alcanza una altura de 12 metros. En
este sentido, se identifica el triángulo rectángulo
formado, donde los catetos corresponden a 5 m
y 12 m, mientras que la hipotenusa representa la
longitud de la escalera. Al aplicar la fórmula, se
obtiene:
c
2
=52+122
c
2
=25+144
c
2
=169
c=√169=13m (2)
De esta manera, los estudiantes comprenden
cómo la fórmula se aplica en contextos reales.
Cuando se finaliza, los estudiantes se organizan
en parejas para resolver ejercicios propuestos en
la guía, utilizando cuaderno, lápiz, calculadora
básica y esquemas de apoyo. Entre las
actividades planteadas se incluyen: calcular la
hipotenusa de un triángulo con catetos de 9 cm
y 12 cm; determinar la altura de un poste si la
distancia desde su base hasta un punto del suelo
es de 15 m y el cable que lo sostiene mide 17 m;
y hallar el cateto faltante si la hipotenusa mide
20 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Durante
este proceso, la docente acompaña el trabajo,
orienta el procedimiento y verifica la correcta
aplicación de la fórmula, una vez finalizados los
ejercicios, algunas parejas pasan a la pizarra
para explicar el procedimiento seguido en la
resolución de los problemas. En consecuencia,
se realiza una revisión colectiva, en la que la
docente corrige posibles errores, refuerza los
pasos adecuados y promueve la argumentación
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matemática, la estrategia es ejecutada por la
docente con la participación de 24 estudiantes
de noveno grado, organizados en parejas para
favorecer el aprendizaje cooperativo y el
intercambio de ideas. Como actividad de
refuerzo, se asignan ejercicios adicionales para
desarrollar en casa, relacionados con
situaciones del entorno, tales como calcular
distancias o alturas utilizando medidas reales.
Al finalizar, la organización del trabajo se
desarrolla bajo la modalidad cooperativa en
parejas, con una duración total de una semana,
permitiendo la consolidación progresiva del
aprendizaje y la aplicación práctica del teorema
de Pitágoras.
En la tercera semana se da continuidad al
proceso iniciado anteriormente mediante la
aplicación de las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente en la resolución de problemas
contextualizados, con el propósito de fortalecer
la comprensión de la relación entre ángulos y
lados del triángulo rectángulo en estudiantes de
noveno grado de Educación General Básica. En
este sentido, la enseñanza de las razones
trigonométricas a partir de situaciones reales
permite que los estudiantes comprendan la
utilidad práctica de la trigonometría más allá del
aula. Desde el enfoque del aprendizaje
significativo, la relación entre los conceptos
matemáticos y situaciones del entorno como la
medición de alturas, distancias o pendientes
favorece la construcción activa del
conocimiento y evita la memorización aislada
de fórmulas.
Asimismo, desde la perspectiva constructivista,
la identificación de la razón trigonométrica
adecuada en cada problema promueve el
razonamiento lógico y la toma de decisiones
matemáticas. De igual manera, el
acompañamiento docente y el análisis reflexivo
de los procedimientos fortalecen habilidades
metacognitivas, permitiendo al estudiante
verificar la coherencia de los resultados
obtenidos. Para iniciar la clase, la docente
presenta en la pizarra un esquema del triángulo
rectángulo, identificando claramente el ángulo
de referencia (θ), el cateto opuesto, el cateto
adyacente y la hipotenusa.
A partir de esta representación, explica las
razones trigonométricas básicas, escribiendo
sus fórmulas correspondientes y detallando la
relación entre cada razón y los lados del
triángulo. Seguidamente, entrega a los
estudiantes una tabla de apoyo impresa con las
razones trigonométricas más utilizadas y un
esquema explicativo que podrán consultar
durante el desarrollo de las actividades,
Posteriormente, la docente plantea diversos
esquemas en las guías de trabajo, indicando qué
datos son conocidos y cuál es el valor que se
desea calcular. En consecuencia, los
estudiantes, organizados en parejas, deben
identificar la razón trigonométrica adecuada
según la información proporcionada. Por
ejemplo, si se conoce el ángulo θ y el cateto
adyacente y se desea hallar el cateto opuesto, se
concluye que la razón pertinente es la tangente.
Esta actividad fortalece la capacidad de análisis
previo antes de aplicar cualquier procedimiento
matemático.
A continuación, se presentan problemas
contextualizados relacionados con situaciones
reales. Por ejemplo, se plantea el caso de un
estudiante que observa la cima de un árbol con
un ángulo de elevación de 35°. Si la distancia
desde el estudiante hasta la base del árbol es de
10 metros, se solicita determinar la altura del
árbol. En este caso, se identifican los datos:
ángulo de 35°, cateto adyacente de 10 m y
cateto opuesto correspondiente a la altura. Por
lo tanto, se aplica la tangente del ángulo:
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Figura 6. Tangente de ángulo
Fuente: Elaboración propia
De esta manera, los estudiantes comprenden
cómo la trigonometría permite resolver
situaciones concretas del entorno.
Seguidamente, cada pareja analiza el
procedimiento aplicado, verificando la correcta
identificación de los datos, la selección
adecuada de la razón trigonométrica y el uso
apropiado de la calculadora científica. Durante
este proceso, la docente orienta el trabajo, aclara
dudas y corrige posibles errores conceptuales,
posteriormente, algunos ejercicios se resuelven
de manera conjunta en la pizarra, permitiendo la
socialización de procedimientos. Los
estudiantes explican los pasos seguidos y
justifican la razón trigonométrica utilizada,
mientras la docente refuerza los conceptos clave
y consolida el aprendizaje mediante la
retroalimentación formativa.
La estrategia es ejecutada con la participación
de 24 estudiantes, organizados en parejas para
favorecer el aprendizaje colaborativo y el
intercambio de ideas. Como actividad posterior,
se asignan ejercicios integradores en hojas de
trabajo, donde los estudiantes aplican seno,
coseno y tangente en distintos contextos,
recibiendo retroalimentación continua por parte
de la docente. Seguidamente, la organización
del trabajo se desarrolla bajo la modalidad
cooperativa en parejas, con acompañamiento
permanente de la docente y una duración de una
semana, permitiendo la consolidación
progresiva del aprendizaje trigonométrico y su
aplicación práctica en situaciones reales. En la
cuarta semana se llevará a cabo la Estrategia 3,
correspondiente al aprendizaje cooperativo y
socialización de procedimientos matemáticos,
cuyo propósito es fomentar el trabajo
colaborativo y la explicación argumentada de
los procedimientos en la resolución de
problemas que integren el teorema de Pitágoras
y las razones trigonométricas en los estudiantes
de noveno grado de Educación General Básica,
esta estrategia se fundamenta en el aprendizaje
cooperativo como enfoque pedagógico que
promueve la construcción colectiva del
conocimiento mediante la interacción entre
pares.
En el área de Matemática, la socialización de
procedimientos permite que los estudiantes no
solo obtengan un resultado correcto, sino que
comprendan el proceso lógico que conduce a la
solución. Asimismo, se sustenta en la teoría
sociocultural de Vygotsky, la cual destaca la
importancia de la interacción social en el
aprendizaje, y en el enfoque por competencias,
que prioriza la aplicación práctica del
conocimiento en contextos reales. Además,
favorece el desarrollo de la metacognición, ya
que los estudiantes reflexionan sobre sus
propios procedimientos al explicarlos frente al
grupo, para el desarrollo de la estrategia, la
docente organizará a los 24 estudiantes en seis
grupos de cuatro integrantes, procurando la
heterogeneidad en el nivel de desempeño
académico.
A cada integrante se le asignará un rol
específico (coordinador, registrador, calculista
y expositor) con el fin de garantizar la
participación y la responsabilidad compartida.
Como actividad inicial, se planteará un
problema integrador relacionado con el teorema
de Pitágoras: un poste de luz está sostenido por
un cable que mide 13 metros, y la base del poste
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se encuentra a 5 metros del punto de anclaje del
cable en el suelo; se deberá determinar la altura
del poste.
Figura 7. Altura del poste
Fuente: Elaboración propia
Aplicación del teorema de Pitágoras:
c
2
=a
2
+b
2
132=h
2
+52
1692=h
2
+25
h
2
=144
h=12m
A continuación, se planteará un segundo
problema integrador relacionado con razones
trigonométricas: desde un punto del suelo se
observa la cima de una torre con un ángulo de
elevación de 30°, y la distancia horizontal es de
20 metros; se deberá calcular la altura de la
torre.
Figura 8. Altura de la torre
Fuente: Elaboración propia
Razón trigonométrica utilizada:
Tan (35
°
) = altura
20
altura= 20.tan (30
°
)
altura= 20. 0,58 = 11,6 m (3)
Durante el trabajo colaborativo, los estudiantes
discutirán los procedimientos, justificarán cada
paso matemático y registrarán la solución
consensuada. La docente acompañará el
proceso, orientando, aclarando dudas y
verificando la correcta aplicación de la fórmula,
en relación con este esquema explicado cada
grupo socializará uno de los ejercicios resueltos
en la pizarra. El expositor explicará paso a paso
el procedimiento utilizado, apoyándose en
esquemas y fundamentos matemáticos. La
docente guiará una discusión final, resaltando
aciertos y analizando posibles errores como el
uso incorrecto de las razones trigonométricas, la
identificación inadecuada de los catetos o
dificultades en el despeje de fórmulas, al
finalizar, se realizará una retroalimentación
general valorando la participación, el trabajo
cooperativo, la claridad en la explicación de los
procedimientos y el uso correcto de esquemas y
fórmulas.
La validación de la propuesta didáctica se
realizó mediante el juicio de expertos, contando
con la participación de docentes del área de
Matemática con formación académica y
experiencia profesional en el nivel de
Educación Básica, título de cuarto nivel
(maestría) en Educación, además para ello se
empleó una ficha de validación estructurada en
criterios como pertinencia, coherencia, claridad,
aplicabilidad y relevancia pedagógica. Cada
criterio fue valorado mediante una escala
cualitativa, permitiendo recoger observaciones
y sugerencias de mejora. Este perfil profesional
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garantiza que los criterios emitidos por los
docentes expertos se fundamentan en
conocimientos especializados y en la práctica
docente, aportando rigor y validez académica al
proceso de evaluación de la propuesta, los
resultados evidenciaron una valoración
favorable de la propuesta, destacando su
aplicabilidad en el aula y su contribución al
aprendizaje significativo de los triángulos
rectángulos. Los resultados obtenidos
evidenciaron una mejora en la comprensión de
los conceptos relacionados con los triángulos
rectángulos, así como en la capacidad de los
estudiantes para resolver problemas
contextualizados. Asimismo, se observó un
incremento en la participación y en la
motivación hacia el aprendizaje de la
matemática.
Conclusiones
De los resultados obtenidos, del análisis
realizado y de la discusión desarrollada en el
presente estudio, se pueden establecer las
siguientes conclusiones: 1) Se identificó que los
estudiantes de noveno grado presentan
dificultades conceptuales en la comprensión de
los triángulos rectángulos, especialmente en la
interpretación de las razones trigonométricas y
en la aplicación correcta de los procedimientos
para su resolución, lo que limita el desarrollo
adecuado de sus habilidades matemáticas. 2) Se
evidenció que las estrategias metodológicas
tradicionalmente empleadas por los docentes se
centran mayormente en la explicación magistral
y la repetición de ejercicios, lo cual reduce la
participación del estudiante y dificulta la
construcción significativa del aprendizaje. 3) Se
comprobó que la implementación de estrategias
metodológicas activas favorece una mejor
comprensión de las razones trigonométricas,
promoviendo mayor interés, participación y
seguridad en la resolución de triángulos
rectángulos. 4) Se determinó que la aplicación
de metodologías activas contribuye al
fortalecimiento del pensamiento lógico y
espacial de los estudiantes, permitiéndoles
analizar, interpretar y resolver problemas
matemáticos con mayor autonomía y
coherencia.
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Rocío Freire Carrera, Katty Yolanda Cruz Sánchez,
Gladys Margarita Criollo Portilla y Elizabeth Esther
Vergel Parejo.
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Contribución de los autores (Taxonomía CRediT)
Concepción del Rocío Freire Carrera: conceptualización de la investigación, diseño metodológico, desarrollo del proceso investigativo, análisis formal
de los datos, redacción del borrador original del manuscrito, revisión crítica del contenido científico y supervisión general del estudio.
Katty Yolanda Cruz Sánchez: curación y organización de los datos, participación en la recolección de información, validación de los resultados
obtenidos y elaboración de representaciones gráficas y visualización de los datos.
Gladys Margarita Criollo Portilla: conceptualización de la investigación, diseño metodológico, desarrollo del proceso investigativo, análisis formal de
los datos, redacción del borrador original del manuscrito, revisión crítica del contenido científico y supervisión general del estudio.
Elizabeth Esther Vergel Parejo.: conceptualización de la investigación, diseño metodológico, desarrollo del proceso investigativo, análisis formal de
los datos, redacción del borrador original del manuscrito, revisión crítica del contenido científico y supervisión general del estudio.
Declaración de conflicto de intereses
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