Ciencia y Educación
(L-ISSN: 2790-8402 E-ISSN: 2707-3378)
Edición Especial
2024
Página 256
LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS ALGEBRAICAS EN LA RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES
CONSTANTES
THE APPLICATION OF ALGEBRAIC TECHNIQUES IN THE RESOLUTION OF
SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT COEFFICIENTS
Autores: ¹Gustavo David Robalino Múñiz y ²Viviana Beatriz González Barona.
¹ORCID ID: https://orcid.org/0009-0007-3538-7291
²ORCID ID: https://orcid.org/0000-0002-0509-3280
¹E-mail de contacto: grobalinom@unemi.edu.ec
²E-mail de contacto: vbarona@unemi.edu.ec
Afiliación¹* ²*Universidad Estatal de Milagro, (Ecuador).
Articulo recibido: 1 de Agosto del 2024
Articulo revisado: 3 de Agosto del 2024
Articulo aprobado: 19 de Septiembre del 2024
¹Ingeniero en Marketing graduado de la Universidad Estatal de Milagro, (Ecuador). Magister en Estadística mención en Gestión de la
Calidad y Productividad otorgado de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, (Ecuador).
²Licenciada en Ciencias de la Educación mención Informática y Programación graduada de la Universidad Estatal de Milagro, (Ecuador).
Magister en Educación mención en Enseñanza de la Lengua y Literatura otorgado por la Universidad Nacional de Educación, (Ecuador).
Doctorante en Ciencias de la Educación con énfasis en Educación – Pedagogía en la Universidad de Panamá (Panamá).
Resumen
Este artículo explora la aplicación de técnicas
algebraicas en la resolución de ecuaciones
diferenciales de segundo orden con
coeficientes constantes en el caso homogéneo
f(x)=0. Se presenta un enfoque detallado sobre
la factorización y el uso de la fórmula general
para resolver la ecuación característica
asociada. Estas técnicas permiten obtener
soluciones generales que describen el
comportamiento de sistemas dinámicos sin la
influencia de fuerzas externas, como circuitos
eléctricos, sistemas mecánicos y osciladores
armónicos. La factorización es efectiva cuando
la ecuación característica puede
descomponerse en factores lineales, lo que
ocurre en sistemas con raíces racionales. Por
otro lado, la fórmula general es un método
universal que permite resolver ecuaciones
cuadráticas independientemente de la
naturaleza de sus raíces, ya sean reales o
complejas. El estudio también resalta las
implicaciones físicas de las soluciones
obtenidas, como el decaimiento exponencial, el
crecimiento o las oscilaciones periódicas.
Asimismo, se analiza la relación entre las raíces
de la ecuación característica y la estabilidad del
sistema, un aspecto crucial en la ingeniería y el
diseño de sistemas de control. Se concluye que
las técnicas algebraicas para resolver
ecuaciones diferenciales homogéneas de
segundo orden no solo son esenciales desde un
punto de vista teórico, sino que también tienen
aplicaciones prácticas significativas en el
análisis, diseño y optimización de sistemas
dinámicos.
Palabras clave: Ecuaciones diferenciales,
Factorización, Estabilidad.
Abstract
This paper explores the application of algebraic
techniques in solving second-order differential
equations with constant coefficients in the
homogeneous case f(x)=0. A detailed approach
to factorization and the use of the general
formula to solve the associated characteristic
equation is presented. These techniques allow
obtaining general solutions that describe the
behavior of dynamic systems without the
influence of external forces, such as electrical
circuits, mechanical systems, and harmonic
oscillators. Factorization is effective when the
characteristic equation can be decomposed into
linear factors, which occurs in systems with
rational roots. On the other hand, the general
formula is a universal method that allows
solving quadratic equations regardless of the
nature of their roots, whether real or complex.
The study also highlights the physical
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implications of the obtained solutions, such as
exponential decay, growth, or periodic
oscillations. Likewise, the relationship between
the roots of the characteristic equation and the
stability of the system is analyzed, a crucial
aspect in engineering and control system
design. It is concluded that algebraic
techniques for solving second-order
homogeneous differential equations are not
only essential from a theoretical point of view,
but also have significant practical applications
in the analysis, design and optimization of
dynamic systems.
Keywords: Differential equations,
Factorization, Stability.
Sumário
Este artigo explora a aplicação de técnicas
algébricas na resolução de equações
diferenciais de segunda ordem com
coeficientes constantes no caso homogêneo
f(x)=0. É apresentada uma abordagem
detalhada da fatoração e do uso da fórmula
geral para resolver a equação característica
associada. Estas técnicas permitem obter
soluções gerais que descrevem o
comportamento de sistemas dinâmicos sem a
influência de forças externas, como circuitos
elétricos, sistemas mecânicos e osciladores
harmônicos. A fatoração é eficaz quando a
equação característica pode ser decomposta em
fatores lineares, o que ocorre em sistemas com
raízes racionais. Por outro lado, a fórmula geral
é um método universal que permite resolver
equações quadráticas independentemente da
natureza das suas raízes, sejam elas reais ou
complexas. O estudo também destaca as
implicações físicas das soluções obtidas, como
decaimento exponencial, crescimento ou
oscilações periódicas. Da mesma forma, é
analisada a relação entre as raízes da equação
característica e a estabilidade do sistema,
aspecto crucial na engenharia e projeto de
sistemas de controle. Conclui-se que as
técnicas algébricas para resolução de equações
diferenciais homogêneas de segunda ordem
não são apenas essenciais do ponto de vista
teórico, mas também possuem aplicações
práticas significativas na análise, projeto e
otimização de sistemas dinâmicos.
Palavras-chave: Equações diferenciais,
fatoração, estabilidade.
Introducción
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden
con coeficientes constantes desempeñan un
papel fundamental en la modelización
matemática de fenómenos físicos, así como en
diversas disciplinas científicas y de ingeniería.
Estas ecuaciones se utilizan para caracterizar
sistemas que exhiben comportamientos
dinámicos intrincados, tales como oscilaciones,
amortiguamientos o respuestas a estímulos
externos. Mediante la interpretación y
resolución de estas ecuaciones, se puede prever
y comprender el comportamiento de sistemas
físicos tales como circuitos eléctricos,
estructuras mecánicas y procesos biológicos
(Comet, A., Batard, L., & Mola, C., 2023).
Una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes constantes tiene la forma general
de , donde es la
función desconocida, son las derivadas
primera y segunda, respectivamente, respecto a
la variable independiente x, y los coeficientes a,
b, y c son constantes. El término f(x) puede
representar una fuerza externa o excitación del
sistema y puede ser nulo (en el caso
homogéneo) o no nulo (en el caso no
homogéneo). La resolución de este tipo de
ecuaciones es fundamental en muchas áreas del
conocimiento, pues permite obtener una
descripción detallada de la evolución temporal
o espacial de sistemas bajo estudio (Alberto, A.,
& David, D., 2021).
La metodología algebraica para la resolución de
ecuaciones diferenciales de segundo orden con
coeficientes constantes se enfoca en identificar
soluciones a la ecuación característica asociada,
que posee una naturaleza cuadrática. Esta
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ecuación facilita la identificación de las raíces,
cuyo tipo de solución general es determinado
por su naturaleza. En función de si las raíces son
reales y distintas, reales e iguales o complejas,
las soluciones podrían adoptar formas
exponenciales, lineales o trigonométricas,
proporcionando una perspectiva precisa del
comportamiento del sistema modelado
(Cáceres, M., & León, R., 2023).
Desde una perspectiva física, las ecuaciones
diferenciales de segundo orden se utilizan
extensivamente para la descripción de
fenómenos tales como las vibraciones
mecánicas, la dinámica de sistemas eléctricos y
la propagación de ondas. Por ejemplo, en el
examen de un sistema masa-resorte, la ecuación
diferencial que regula el movimiento de la masa
está directamente vinculada con los coeficientes
que representan la rigidez del resorte y la
resistencia del entorno. Igualmente, en los
circuitos eléctricos de tipo RLC, las ecuaciones
diferenciales delinean la interacción entre la
resistencia, la inductancia y la capacitancia,
permitiendo así la predicción del
comportamiento del voltaje y la corriente en el
circuito (Muñoz, J., Beltrán, S., Hernández, C.,
Cedeño, J., & Soto, C., 2023).
Una característica esencial de las ecuaciones
diferenciales de segundo orden radica en su
habilidad para representar sistemas con
memoria, es decir, sistemas cuyo
comportamiento futuro se halla condicionado
tanto por su estado presente como por su
historial de modificaciones. Este factor es de
vital importancia en sistemas físicos que
exhiben efectos de inercia o almacenamiento de
energía, tal como en la amortiguación de
vibraciones o en la respuesta de circuitos
eléctricos a las variaciones en la corriente
(Cáceres, 2024).
La implementación de métodos algebraicos,
tales como la factorización de la ecuación
característica o la utilización de la fórmula
general para resolver ecuaciones cuadráticas,
reviste una relevancia significativa en la
instrucción y el aprendizaje de las ecuaciones
diferenciales. Estas metodologías habilitan a
estudiantes y profesionales para abordar de
forma sistemática la resolución de problemas
que implican ecuaciones de segundo orden,
promoviendo una comprensión más profunda
de los conceptos fundamentales.
Adicionalmente, la metodología algebraica no
solo resulta beneficiosa en el ámbito de la
resolución analítica, sino que también establece
un fundamento para métodos numéricos de
mayor complejidad que se emplean cuando las
soluciones precisas resultan inviables
(Zambrano, A., Montenegro, L., & Bravo, R.,
2024).
Dentro del campo de la ingeniería, se emplean
las ecuaciones diferenciales de segundo orden
en el diseño y análisis de sistemas que
demandan un comportamiento exacto bajo
condiciones fluctuantes. Los ingenieros
emplean estas ecuaciones para la modelización
y optimización de sistemas tales como puentes,
vehículos y robots, garantizando una respuesta
apropiada a cargas y fuerzas externas. Además,
en los campos de la biología y la medicina, las
ecuaciones diferenciales facilitan la
modelización de procesos como el crecimiento,
la interacción entre poblaciones y la
diseminación de sustancias químicas en
organismos vivos, un aspecto crucial para el
avance de tratamientos y tecnologías
biomédicas (Cardona, J., Leal, J., & Ustariz, J.,
2020).
Desde una perspectiva matemática, la
exploración de las ecuaciones diferenciales de
segundo orden con coeficientes constantes
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mantiene una estrecha relación con otras áreas
del análisis matemático, tales como el álgebra
lineal y las series de Fourier. Este hecho se
manifiesta en que las soluciones a dichas
ecuaciones pueden ser representadas como
combinaciones lineales de funciones base, lo
que evidencia la estructura lineal inherente al
problema. Adicionalmente, en situaciones de
mayor complejidad, las soluciones pueden ser
aproximadas a través de series de funciones,
expandiendo así el alcance de las técnicas
algebraicas hacia campos como la teoría de
control y la ingeniería de sistemas (Román,
2022).
La finalidad de esta investigación es
profundizar en la aplicación de técnicas
algebraicas para la resolución de ecuaciones
diferenciales de segundo orden con coeficientes
constantes, poniendo especial atención en los
métodos de factorización y la fórmula general.
Mediante la representación de ejemplos
ejemplares y la implementación práctica, se
pretende evidenciar la aplicabilidad y utilidad
de estas técnicas en la resolución de problemas
habituales en los campos de la ciencia e
ingeniería. Se investiga además las soluciones
de la ecuación característica y su vinculación
con el comportamiento dinámico de los
sistemas físicos modelados por las ecuaciones
diferenciales (Cáceres, 2023).
En última instancia, se procederá a examinar
ciertas aplicaciones pertinentes de las
ecuaciones diferenciales de segundo orden en
contextos prácticos. Se expondrá un caso
específico de un sistema masa-resorte, en el que
se aplicarán las técnicas algebraicas
previamente descritas para resolver la ecuación
diferencial que dicta el movimiento del sistema.
Esta estrategia tiene como objetivo
proporcionar una perspectiva integral del
proceso de resolución y la interpretación de los
resultados obtenidos, subrayando la relevancia
de las soluciones algebraicas en la comprensión
y el análisis de sistemas dinámicos (Vergel, M.,
Rincón, O., & Ibargüen, E., 2022).
Desarrollo
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden
con coeficientes constantes homogéneas, donde
f(x)=0, son fundamentales en la modelización
matemática de sistemas físicos y de ingeniería.
En este tipo de ecuaciones, la dinámica del
sistema es gobernada únicamente por sus
propias propiedades internas, sin la influencia
de una fuerza externa. La ecuación diferencial
homogénea general se escribe como
ay′′+by′+cy=0, donde y(x) es la función
desconocida, y los coeficientes a, b y c son
constantes que describen las características del
sistema (Zill, D., Edwards Jr, C., & Penney, D.,
2022).
El primer paso para resolver una ecuación
diferencial de este tipo es plantear la ecuación
característica, que es una ecuación cuadrática en
la variable m, derivada a partir de la suposición
de que la solución es de la forma y(x)=e
mx
,
donde m es una constante a determinar. Al
sustituir esta forma en la ecuación diferencial
homogénea ay′′+by′+cy=0, se obtiene la
ecuación cuadrática am
2
+bm+c=0, que es clave
para determinar el comportamiento del sistema.
La naturaleza de las raíces de esta ecuación
cuadrática dictará la forma general de la
solución de la ecuación diferencial (Mucha,
2022).
La factorización es una de las técnicas
algebraicas más simples y directas para resolver
la ecuación característica cuando es posible
descomponerla en factores lineales. Este
método es aplicable cuando las raíces de la
ecuación cuadrática son números racionales y la
ecuación puede factorizarse fácilmente. Por
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ejemplo, para la ecuación diferencial
, la ecuación característica es
, que puede factorizarse
como (m−2) (m−3)=0. Las raíces son
y
, lo que lleva a la solución general
, donde
y
son
constantes determinadas por las condiciones
iniciales del problema (Chamba, E., Puruncaja,
D., Espín, J., & Padilla, N., 2024).
La factorización es una técnica eficaz cuando
las raíces de la ecuación característica son reales
y distintas. En este caso, las soluciones de la
ecuación diferencial representan una
combinación lineal de dos funciones
exponenciales, lo que indica que el sistema
tiene dos modos de comportamiento dinámico
distintos. Este tipo de solución es común en
sistemas físicos no amortiguados, como ciertos
circuitos eléctricos o sistemas de vibración
mecánica sin amortiguación (Fonseca, 2023).
Sin embargo, cuando la ecuación característica
no puede factorizarse fácilmente, se recurre a la
fórmula general para resolver ecuaciones
cuadráticas. Esta fórmula, también conocida
como fórmula de Bhaskara, permite calcular las
raíces de cualquier ecuación cuadrática, ya sean
reales o complejas. La fórmula general es:
Un ejemplo típico en el que la factorización no
es viable es la ecuación ,
cuya ecuación característica es
. Aplicando la fórmula general, se obtiene
una raíz doble , lo que implica que la
solución general es de la forma
. Este tipo de solución refleja un
comportamiento crítico en el sistema, como en
los sistemas amortiguados críticamente, donde
el sistema regresa a su estado de equilibrio sin
oscilar (Rodríguez, E., & Báez, L., 2023).
En el caso de que las raíces de la ecuación
característica sean reales e iguales, la solución
general incluye un término lineal adicional en x
para garantizar la independencia de las
soluciones. Esto se debe a que, cuando las raíces
son iguales, las soluciones exponenciales
correspondientes no son linealmente
independientes, y el término adicional x es
necesario para cubrir todas las posibles
soluciones del sistema. Este tipo de
comportamiento aparece en sistemas
físicamente críticos, como un sistema masa-
resorte críticamente amortiguado (García, J.,
Yañez, M., & López, M., 2022).
Cuando la ecuación característica tiene raíces
complejas, las soluciones involucran funciones
trigonométricas y exponenciales. Esto ocurre
cuando el discriminante de la ecuación
cuadrática,
, es negativo, lo que indica
que las raíces son complejas conjugadas de la
forma . En este caso, la solución
general de la ecuación diferencial homogénea
es
,
donde α es el componente de crecimiento o
decaimiento exponencial, y β está relacionado
con la frecuencia angular del sistema oscilatorio
(Miranda, N., & Paz, I., 2023).
Las raíces complejas aparecen típicamente en
sistemas que exhiben comportamiento
oscilatorio, como en sistemas mecánicos o
eléctricos con componentes inductivos y
capacitivos. En estos casos, la presencia de
términos sinusoidales en la solución refleja la
naturaleza cíclica del sistema, donde el
movimiento o la respuesta del sistema se repite
en el tiempo. Este tipo de soluciones es
fundamental para describir fenómenos como la
resonancia y la amortiguación en sistemas
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oscilatorios (Cruz, J., Carbajal, F., Cambero, I.,
& Pérez, A., 2023).
La técnica de factorización, aunque sencilla, no
siempre es aplicable, especialmente en sistemas
complejos donde las raíces no son racionales o
la ecuación no puede factorizarse fácilmente.
En estos casos, la fórmula general es
indispensable, ya que proporciona una solución
precisa para cualquier tipo de ecuación
cuadrática. Sin embargo, el análisis de las raíces
complejas requiere un enfoque adicional, ya que
implica la combinación de funciones
exponenciales y trigonométricas, lo que añade
un nivel de complejidad a la interpretación de
las soluciones (Bolaños, M., Loría, J., & Picado,
M., 2023).
Es importante destacar que las soluciones de las
ecuaciones diferenciales de segundo orden con
coeficientes constantes dependen directamente
de las raíces de la ecuación característica. Las
raíces reales representan comportamientos
exponenciales, mientras que las raíces
complejas implican oscilaciones. Estas
diferentes formas de soluciones tienen
aplicaciones prácticas en la modelización de
sistemas físicos, como la amortiguación de
vibraciones en sistemas mecánicos, o la
respuesta de circuitos eléctricos a excitaciones
externas (Bolivar, J., & Ordoñez, B., 2023).
Desde un punto de vista algebraico, la
resolución de ecuaciones diferenciales de
segundo orden con coeficientes constantes
mediante factorización o la fórmula general
proporciona una estructura clara y sistemática
para abordar este tipo de problemas. Estas
técnicas no solo son esenciales para obtener
soluciones exactas, sino que también permiten
una comprensión más profunda del
comportamiento dinámico de los sistemas bajo
estudio. En particular, la fórmula general es una
herramienta poderosa que garantiza que se
puedan encontrar soluciones para cualquier
ecuación cuadrática, independientemente de la
naturaleza de sus raíces (Cáceres, M., & León,
R., 2023).
Las técnicas algebraicas de factorización y la
fórmula general son herramientas clave para
resolver ecuaciones diferenciales de segundo
orden con coeficientes constantes en el caso
homogéneo. Estas técnicas permiten obtener
soluciones generales que describen el
comportamiento dinámico de los sistemas
físicos modelados por estas ecuaciones.
Dependiendo de las raíces de la ecuación
característica, las soluciones pueden representar
decaimiento exponencial, crecimiento
exponencial o comportamiento oscilatorio, lo
que otorga una visión completa de las posibles
dinámicas que un sistema puede exhibir
(Fonseca, 2023).
Teoría de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden
son una herramienta clave en la modelización
de fenómenos dinámicos que involucran la
aceleración de una variable dependiente en
relación con una variable independiente. Estas
ecuaciones describen una amplia variedad de
fenómenos, desde el movimiento oscilatorio en
sistemas físicos hasta la evolución de variables
en sistemas biológicos y económicos. En
particular, las ecuaciones diferenciales de
segundo orden con coeficientes constantes se
destacan por su simplicidad estructural y su
aplicabilidad en múltiples disciplinas científicas
(Zill, D., Edwards Jr, C., & Penney, D., 2022).
Una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes constantes tiene la forma general:
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donde a, b y c son constantes, y(x) es la función
incógnita, y f(x) representa una función externa.
En el caso homogéneo, f(x)=0, lo que simplifica
el análisis ya que el sistema no está sujeto a
fuerzas o perturbaciones externas (Alberto, A.,
& David, D., 2021). Este tipo de ecuaciones son
comunes en sistemas donde las fuerzas internas,
como la elasticidad o la amortiguación,
determinan completamente la dinámica del
sistema.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden
son aquellas en las que la incógnita involucra la
segunda derivada de una función con respecto a
una variable independiente. Para resolver estas
ecuaciones, es usual suponer una solución de la
forma
, donde m es una constante
que debe determinarse (Zill, D., Edwards Jr, C.,
& Penney, D., 2022). Este tipo de suposición es
especialmente útil en ecuaciones lineales con
coeficientes constantes, ya que, al sustituir esta
forma en la ecuación diferencial, se obtiene una
ecuación cuadrática denominada ecuación
característica:
Esta ecuación cuadrática juega un papel crucial
en la determinación de las soluciones generales
de la ecuación diferencial de segundo orden.
Las soluciones de la ecuación característica
pueden ser reales y distintas, reales e iguales, o
complejas conjugadas. Cada uno de estos casos
da lugar a diferentes tipos de soluciones que
reflejan el comportamiento dinámico del
sistema bajo estudio (Chamba, E., Puruncaja,
D., Espín, J., & Padilla, N., 2024).
Clasificación de las soluciones
Dependiendo de las raíces de la ecuación
característica, la solución general de la ecuación
diferencial puede adoptar distintas formas, que
describen diferentes tipos de comportamiento
dinámico.
Raíces reales y distintas: Si la ecuación
característica tiene dos raíces reales y distintas,
y
, la solución general de la ecuación
diferencial será una combinación lineal de dos
funciones exponenciales, que se expresa como:
Este tipo de solución es característico de
sistemas que presentan dos modos de
comportamiento dinámico independientes,
como sistemas no amortiguados o donde no hay
interferencias entre los diferentes componentes
del sistema. Este comportamiento puede
observarse en sistemas eléctricos o mecánicos
sin fricción, donde las oscilaciones o
movimientos se mantienen independientes y sin
decaimiento (Alberto, A., & David, D., 2021).
Raíces reales e iguales: En el caso de que las
raíces de la ecuación característica sean reales e
iguales, la solución general adquiere una forma
diferente. Aquí es necesario incluir un término
lineal adicional para asegurar que las soluciones
sean independientes entre sí. La forma de la
solución es:
Este tipo de solución ocurre típicamente en
sistemas críticamente amortiguados, como
aquellos en los que se busca evitar la oscilación.
Por ejemplo, en un sistema masa-resorte
críticamente amortiguado, la masa regresará a
su posición de equilibrio sin oscilaciones, lo que
es un comportamiento deseado en muchas
aplicaciones prácticas de ingeniería, como en
sistemas de suspensión de vehículos (Gómez,
2023).
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Raíces complejas: Si las raíces de la ecuación
característica son complejas conjugadas,
, la solución general tiene una forma
distinta, que incluye funciones trigonométricas
y exponenciales. En este caso, la solución se
expresa como:
Las raíces complejas indican un
comportamiento oscilatorio, lo que es típico en
sistemas como el sistema masa-resorte con baja
amortiguación o en circuitos eléctricos LC,
donde las oscilaciones persisten a lo largo del
tiempo. El término exponencial
puede
representar el crecimiento o el decaimiento del
sistema, mientras que las funciones sinusoidales
describen la frecuencia de oscilación (Martínez,
M., Román, J., Samaniego, L., & Supe, D., 70).
Importancia de la ecuación característica
La ecuación característica es una herramienta
fundamental en la resolución de ecuaciones
diferenciales de segundo orden, ya que
proporciona información directa sobre la
naturaleza de las soluciones del sistema.
Dependiendo del tipo de raíces que tenga la
ecuación característica, se pueden inferir
comportamientos dinámicos clave del sistema
modelado. En términos físicos, las raíces reales
están asociadas con soluciones exponenciales,
lo que representa crecimiento o decaimiento en
el tiempo. Por otro lado, las raíces complejas se
asocian con oscilaciones periódicas, lo que es
indicativo de un sistema cíclico o resonante
(Espinoza, 2020).
Además, la ecuación característica también
tiene implicaciones en la estabilidad del
sistema. En sistemas donde las raíces tienen
partes reales negativas, el sistema tenderá a
regresar a su estado de equilibrio con el tiempo,
lo que es indicativo de un sistema estable. Sin
embargo, si alguna raíz tiene una parte real
positiva, el sistema se volverá inestable, lo que
puede resultar en un crecimiento exponencial
descontrolado de las soluciones (Flores, I.,
García, J., & Haramboure, Y., 2020).
Métodos de resolución algebraica
La resolución de ecuaciones diferenciales de
segundo orden con coeficientes constantes se
puede abordar mediante diferentes métodos
algebraicos. Dos de los métodos más comunes
son la factorización de la ecuación característica
y el uso de la fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas. Ambos métodos son
útiles para determinar las raíces de la ecuación
característica, que a su vez definen la solución
general de la ecuación diferencial.
Factorización
La factorización es una técnica algebraica que
permite descomponer la ecuación característica
en factores lineales, siempre que sea posible.
Este método es aplicable cuando las raíces de la
ecuación cuadrática son números racionales, y
la ecuación es fácilmente factorizable. Por
ejemplo, consideremos la siguiente ecuación
diferencial:
La ecuación característica asociada es:
Podemos factorizar esta ecuación como
, de donde se obtiene las raíces
y
. Estas raíces permiten
escribir la solución general de la ecuación
diferencial como:
En este caso, la solución describe un sistema
con dos modos de crecimiento exponencial, lo
que es característico de sistemas que no están
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amortiguados y donde no hay un decaimiento
exponencial significativo. La factorización es
un método directo y sencillo para resolver
ecuaciones diferenciales, siempre y cuando las
raíces sean racionales (Bolaños, M., Loría, J., &
Picado, M., 2023).
Fórmula general
Cuando la ecuación característica no puede ser
factorizada fácilmente, se recurre a la fórmula
general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Esta fórmula es aplicable a cualquier ecuación
cuadrática, independientemente de la naturaleza
de las raíces (reales o complejas). La fórmula
general es:
Por ejemplo, considerando la ecuación
diferencial:
La ecuación característica asociada es:
Aplicando la fórmula general, se obtiene:
En este caso, la raíz es doble, m=1, lo que lleva
a la siguiente solución general:
Este tipo de solución aparece en sistemas con
amortiguación crítica, donde el sistema regresa
a su estado de equilibrio sin oscilar, como
ocurre en ciertos sistemas mecánicos y
eléctricos donde la resistencia o fricción es lo
suficientemente alta para prevenir oscilaciones
(González, 2023).
Soluciones con raíces complejas
Cuando las raíces de la ecuación característica
son complejas, las soluciones involucran tanto
funciones exponenciales como trigonométricas.
Por ejemplo, la ecuación diferencial:
La ecuación característica asociada es:
Resolviendo esta ecuación, se obtienen raíces
complejas . En este caso, la solución
general es:
Esta solución refleja un comportamiento
oscilatorio puro, característico de sistemas
como los circuitos LC o los sistemas masa-
resorte sin amortiguación, donde las
oscilaciones persisten indefinidamente sin
perder amplitud. Este tipo de soluciones son
fundamentales para el estudio de fenómenos
como la resonancia y la frecuencia natural de
sistemas oscilatorios (Montero, L., & Rubira,
L., 2024).
Discusión
La investigación de las ecuaciones diferenciales
de segundo orden con coeficientes constantes,
particularmente en el caso homogéneo f(x)=0,
constituye un campo esencial en el ámbito de
las matemáticas aplicadas debido a su extenso
espectro de aplicaciones en múltiples
disciplinas científicas y de ingeniería. La
relevancia de estas ecuaciones reside en su
habilidad para representar sistemas dinámicos
complejos, en los que el comportamiento del
sistema se rige por las características internas
del mismo, sin la intervención de fuerzas
externas. Este examen ofrece un fundamento
robusto para la comprensión de fenómenos tales
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como las oscilaciones mecánicas y eléctricas, el
decaimiento exponencial y los sistemas críticos
(Gómez, 2023).
Desde una perspectiva metodológica, la
resolución de dichas ecuaciones mediante
técnicas algebraicas, tales como la factorización
y la fórmula general para resolver ecuaciones
cuadráticas, se manifiesta como una estrategia
eficaz. La factorización constituye una
metodología sencilla y directa, especialmente
cuando la ecuación característica puede ser
descomponida en factores lineales, facilitando
así la obtención eficaz de soluciones. No
obstante, su aplicación se encuentra restringida
a los casos en los que las raíces de la ecuación
son de naturaleza racional. Este aspecto
restringe la implementación de la factorización
en sistemas de mayor complejidad matemática,
tales como los que implican coeficientes
irracionales o complejos (Mucha, 2022).
Alternativamente, la fórmula general
proporciona una solución más universal, dado
que puede ser aplicada a cualquier ecuación
cuadrática, sin importar la naturaleza de las
raíces. Este procedimiento resulta
imprescindible en situaciones en las que la
factorización resulta inviable, como en sistemas
con raíces dobles o complejas. Adicionalmente,
la fórmula general facilita una comprensión más
profunda del comportamiento del sistema en
relación con el discriminante, que establece la
naturaleza de las soluciones. Por lo tanto, la
detección de raíces complejas o reales posibilita
la predicción de si el sistema exhibirá un
comportamiento oscilatorio, exponencial o
crítico, aspecto crucial para la toma de
decisiones en contextos prácticos (González,
2023).
Dentro del ámbito de los sistemas físicos, las
resoluciones derivadas de ecuaciones
diferenciales homogéneas poseen una
relevancia directa en el diseño y análisis de
sistemas mecánicos y eléctricos. Por ejemplo,
las soluciones con raíces auténticas y
diferenciadas son indicativas de sistemas no
amortiguados o de baja amortiguación, en los
que las variables del sistema evolucionan de
forma autónoma, sin un patrón oscilatorio
claramente determinado. Estos sistemas son
frecuentemente observados en circuitos
eléctricos sin resistencia considerable o en
sistemas de vibración sin fricción, en los que la
energía no se disipa rápidamente (Bolivar, J., &
Ordoñez, B., 2023).
Las soluciones con raíces complejas
caracterizan sistemas oscilatorios, lo cual
adquiere particular relevancia en aplicaciones
que implican osciladores armónicos, tales como
los sistemas masa-resorte y los circuitos
eléctricos RLC. En estos sistemas, las funciones
trigonométricas presentes en la solución
representan la periodicidad del fenómeno,
mientras que la denominación exponencial
vinculada a la parte real de las raíces complejas
denota el incremento o decremento de la
amplitud de las oscilaciones en función del
tiempo (Montero, L., & Rubira, L., 2024). Este
tipo de comportamiento resulta esencial en la
concepción de sistemas de resonancia
magnética y en la atenuación de vibraciones
involuntarias en estructuras mecánicas.
El examen de sistemas con raíces auténticas e
idénticas también posee implicaciones
significativas en el estudio de sistemas
críticamente amortiguados. En tales
situaciones, la solución incorpora un término
adicional que asegura la independencia de las
soluciones propuestas. Este aspecto es esencial
en aplicaciones de ingeniería, donde se persigue
prevenir la oscilación y asegurar que el sistema
retorne con prontitud a su estado de equilibrio.
Ciencia y Educación
(L-ISSN: 2790-8402 E-ISSN: 2707-3378)
Edición Especial
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Ejemplos de estos sistemas comprenden las
suspensiones de vehículos y los
amortiguadores, situaciones en las que se
requiere regular el movimiento para prevenir
daños y garantizar el confort y la seguridad
(Gómez, 2023).
Un elemento significativo en el debate es la
interrelación entre las raíces de la ecuación
característica y la estabilidad del sistema. En los
sistemas físicos y de control, la estabilidad
desempeña un papel crucial, dado que
determina si el sistema retornará a un estado de
equilibrio o si experimentará un incremento
exponencial descontrolado. La existencia de
raíces con componentes reales negativos es un
indicador de estabilidad, lo que implica que las
soluciones experimentarán una decadencia a lo
largo del tiempo. En contraposición, las raíces
con partes reales positivas indican inestabilidad,
lo cual puede resultar en oscilaciones
ascendentes o incluso en la destrucción del
sistema (Espinoza, 2020).
Pese a la relevancia de los métodos algebraicos
en la resolución de ecuaciones diferenciales de
segundo orden homogéneas, es crucial
reconocer que existen restricciones al ser
aplicados a problemas de mayor complejidad,
como los que implican coeficientes no
constantes o ecuaciones no lineales. En tales
situaciones, la obtención de soluciones precisas
no siempre resulta factible, lo que implica la
necesidad de recurrir a métodos numéricos o
aproximaciones. No obstante, el análisis
algebraico de la ecuación característica ofrece
una base teórica robusta para entender el
comportamiento general del sistema previo a la
implementación de técnicas más sofisticadas
(Cáceres, M., & León, R., 2023).
La instrucción de estos métodos en el marco de
las matemáticas aplicadas y la ingeniería resulta
imprescindible para la capacitación de futuros
profesionales. Entender la resolución de
ecuaciones diferenciales de segundo orden a
través de métodos algebraicos confiere a los
estudiantes herramientas esenciales para
afrontar problemas prácticos en campos como
la física, la biología, la economía y la ingeniería.
Estas ecuaciones constituyen no solo un
componente esencial del currículo, sino
también un canal hacia su implementación
práctica en el ámbito profesional (Cardona, J.,
Leal, J., & Ustariz, J., 2020).
Conclusiones
La exploración de las ecuaciones diferenciales
de segundo orden con coeficientes constantes
en su forma homogénea constituye un
instrumento indispensable para la comprensión
del comportamiento dinámico de variados
sistemas en las disciplinas de las ciencias y la
ingeniería. Estas ecuaciones, al representar
sistemas desprovistos de fuerzas externas,
facilitan el análisis de cómo las características
internas del sistema influyen en su evolución.
Las soluciones derivadas mediante técnicas
algebraicas, tales como la factorización y la
fórmula general, proporcionan un marco
riguroso y eficiente para la comprensión de
estos comportamientos.
La factorización se distingue como un
procedimiento sencillo y eficaz cuando las
raíces de la ecuación característica son
racionales, posibilitando la obtención directa de
soluciones. No obstante, la ecuación general
resulta imprescindible en circunstancias de
mayor complejidad, como cuando las raíces son
irracionales o complejas. Esto convierte a la
fórmula general en un recurso fundamental en
el análisis de sistemas dinámicos, dado que
asegura la obtención de soluciones sin tener en
cuenta la naturaleza intrínseca de las raíces.
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En contextos prácticos, estas ecuaciones
facilitan la modelización de una diversidad de
sistemas, que abarcan desde el estudio de
vibraciones mecánicas hasta el comportamiento
de circuitos eléctricos. Las soluciones generales
derivadas de las ecuaciones diferenciales
homogéneas suministran información esencial
acerca de la evolución temporal de los sistemas,
ya sea mediante oscilaciones, crecimiento o
decaimiento exponencial. Esto resulta
particularmente beneficioso en el diseño y la
optimización de sistemas donde la regulación
de dichas dinámicas resulta indispensable,
como en el caso de la amortiguación o la
resonancia.
En última instancia, la evaluación de la
ecuación característica y la esencia de sus raíces
ofrece una comprensión detallada sobre la
estabilidad de los sistemas biológicos. La
habilidad para prever la estabilidad o
inestabilidad de un sistema en función de sus
soluciones es esencial para garantizar un
funcionamiento seguro y eficiente de los
sistemas. La relevancia de este enfoque teórico
no se limita a la comprensión matemática, sino
que también se manifiesta en su aplicación
práctica en múltiples disciplinas de la ciencia y
la ingeniería. Las ecuaciones diferenciales
homogéneas de segundo orden con coeficientes
constantes, solucionadas a través de técnicas
algebraicas, proporcionan una estrategia
robusta para tratar problemas de alta
complejidad, simplificando el análisis, diseño y
control de sistemas dinámicos en una diversidad
de aplicaciones.
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